Deret Hitung

DERET HITUNG

1.1            Definisi Deret Hitung

                                    Deret merupakan rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

                                    Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret tak berhingga adalah yang jumlah suku-sukunya terbatas. Sedangkan dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret dibeda-bedakan menjadi deret hitung dan deret ukur. Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu, bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda yang dengan kata lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Sedangkan deret ukur adalah deret yang suku-sukunya dibedakan dengan perbandingan suku per-urutan yang memiliki nilai tetap yang sering dinamakan dengan pembanding atau rasio.

           

            Contoh :

            1)  2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14                 (pembeda = 2)

            2) 32 , 27 , 22 , 17 , 12 , 7                   (pembeda = -5)

1.2            Suku ke-n dari Deret Hitung

Besarnya nilai suku tertentu ( ke-n ) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus sebagai berikut :

                        7  ,  12  ,  17  ,  22 

                        U₁   U₂    U₃     U₄

                        U₁ = 7   = a

                        U₂ = 12 = a + b  = a + ( 2-1 ) b

                        U₃ = 17 = a + 2b = a + ( 3-1 ) b    

                        U₄ = 22 = a + 3b = a + ( 4-1 ) b

            keterangan :     an = suku ke-n

                                    a = suku pertama

                                    b = pembeda (  Un-Un-₁ )

                                    n = banyaknya suku

contoh :

            Carilah suku ke-10 dari barisan           3 , 7 , 11 , 15 , 19 , . . . .

           

Penyelesaian :

                        Dik :    a = 3

                                    b = 7-3 = 4

                                    n = 10

           

Dit :     U10 . . . . . ?

                        Jwb:     Un  =  a + ( n – 1 ) b

                                    U₁₀ = 3 + ( 10 – 1 ) 4

                                    U₁₀ = 3 + 36

                                    U₁₀ = 39

           

                       

1.3             Jumlah n Suku Deret Hitung

           

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya , sejak suku pertama ( U₁ atau a ) sampai suku ke-n ( Un ) yang bersangkutan. Untuk memperoleh jumlah suku-suku ke-n atau S_n dari suatu barisan aritmatika dengan a sebagai suku pertama dan b sebagai beda yang sama, rumusnya adalah :

contoh :

Carilah jumlah sepuluh suku pertama barisan aritmatika berikut ini   3 , 7 , 11 , 15 , 19 , . . . .

Dik :    a = 3

                        b = 4

                        n = 10

Dit :     S₁₀ . . . . . . ?

Jwb:    

S₁₀ = 10/2 [ 2(3) + (10-1)4]

S₁₀ = 5 [6 + (9)4]

S₁₀ = 5 [6 + 36]

S₁₀ = 5(42)

S_{10 =}210

           

           

1.4             Penerapan Ekonomi Deret Hitung

Penerapan barisan dan deret di bidang ekonomi, teori dan prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola seperti deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Berpola deret hitung berarti variabel tersebut bertambah secara konstan dari satu periode ke periode selanjutnya.

Contoh kasus  :

1.      Diketahui penerimaan perusahaan “ NYL “ pada tahun ke empat sebesar Rp. 3.200.000,- dan penerimaan pada tahun ke enam sebesar Rp. 4.250.000,-. Hitunglah penerimaan perusahaan pada tahun pertama, perkembangan penerimaan pertahun dan besar penerimaan pada tahun ke-11 !

Dik :    U₄ = Rp. 3.200.000

                        U₆ = Rp. 4.250.000

Dit :     a . . . . . . ?

                        b . . . . . . ?

                        U₁₁ . . . . ?

Jwb :    U_n = a + ( n – 1 ) b

                        U₄ = a + ( 4 – 1 ) b                  a + 3b = 3.200.000

                      U₆ = a + ( 6 – 1 ) b                  a + 5b = 4.250.000  -

                                                                             -2b = - 1.050.000

                                                                                b = 525.000

Analisis : Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 525.000,-

                        U₄ = a + 3b

3.200.000 = a + 3 ( 525.000 )

                         a = 3.200.000 – 1.575.000

                         a = 1.625.000

                                                           

Analisis : Penerimaan perusahaan pada tahun pertama sebesar Rp. 1.625.000,-

                        U_n = a + ( n – 1 ) b

                        U₁₁ = 1.625.000 + ( 11 – 1 ) 525.000

                        U₁₁ = 1.625.000 + (10) 525.000

                        U₁₁ = 1.625.000 + 5.250.000

                        U₁₁ = 6.875.000

Analisis : Pada tahun ke sebelas penerimaan perusahaan sebesar Rp. 6.875.000,-

           

2.      Suatu usaha jahit menghasilkan 1500 buah baju pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya. Usaha tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah baju setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa banyak baju yang dihasilkan pada bulan ke enam ?

Dik :          a = 1500

                  b = 500

                  n = 6

Dit :           U₆ . . . . . ?

Jwb:           U₆ = a + ( n – 1 ) b

                  U₆ = 1500 + ( 6 – 1 ) 500

                  U₆ = 1500 + (7) 500

                  U₆ = 1500 + 3500

                  U₆ = 5000

Analisis  : banyaknya baju yang dihasilkan pada bulan ke enam sebanyak 5000 buah pakaian.

DAFTAR PUSTAKA

Kalangi, Josep Bintang. 2004. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba Empat

Dumairy. 1991. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta